פתרונות מלאים אלגברה 1 מ בחן אמצע חורף תשס"ג מטריצה הפיכה ב- הפיכה סקלרית, לכן A = αi

Transcript

1 פתרונות מלאים אלגברה מ בחן אמצע חורף תשס"ג -.. משך הבחינה :.5 שעות. שאלה מס' היא שאלת תרגילי בית. אין להשתמש בחומר עזר או מחשבונים. יש לענות על כל שאלה בדף נפרד ולנמק את התשובות. נא לרשום את השם על המחברת. שאלה מס. : (5%) סקלרית. הוכיחו ש- מתחלפת בכפל עם כל מטריצה הפיכה ב- אם ורק אם פתרון: B יש דרכים רבות ושונות להוכיח תרגיל זה והינה אחת מהן: כיוון ראשון: נתון סקלרית וצריך להוכיח ש- מתחלפת בכפל עם כל מטריצה הפיכה סקלרית לכן αi ו- B αib BαI B כיוון שני: נתון מתחלפת בכפל עם כל מטריצה B הפיכה צריך להוכיח ש- סקלרית. פתרון קצר: ידוע כי אם מתחלפת בכפל עם כל מטריצה B אז סקלרית. בפרט אם מתחלפת בכפל עם כל המטריצות סקלרית. E j נסמן: Bj E j I אז B j שווה ל- ) אז j מטריצה בה כל האיברים הם פרט למקום ה- E j ) הפיכה לכל j לכן.B j B j נציב: (E j I ) (E j I ) E j I E j I E j E j לכן סקלרית. נותר עוד להוכיח כי אם B j B j אז סקלרית... והינה עוד אחד: אם מתחלפת בכפל עם כל מטריצה הפיכה אז היא בפרט מתחלפת עם המטריצה: 4 אלגברה מ/ פתרונות אמצע סמסטר חורף תשס"ג

2 הרבגלא 4 /מ ג"סשת ףרוח רטסמס עצמא תונורתפ קלמ הזילע D :רמולכ j j D D םא רמולכ.תינוסכלא חרכהב זא D םע לפכב תפלחתמ םע תפלחתמ ףסונב I E יכ :ןכל הכיפה הצירטמ איה (I E ) (I E ) E I E I E E vv vv

3 באותו אופן מאחר ו- מתחלפת בכפל גם עם I E ; I E 4... I E נקבל ש- כלומר: I ו- סקלרית כנדרש. 4 אלגברה מ/ פתרונות אמצע סמסטר חורף תשס"ג

4 4 שאלה מס. (5%) : הוכיחו או הפריכו : א. אם x ( 4 4 ) 4) 4 ( ו- הם פתרונות של מערכת משוואות ליניאריות ואם ( ( z אינו פתרון של המערכת אז המערכת אינה הומוגנית.. m m m ב. קבוצת המטריצות שעבורן איננה מטריצה סימטרית היא תת מרחב של. m m m ג. קבוצת המטריצות שעבורן היא אנטי-סימטרית היא תת מרחב של ד. אם מטריצה ריבועית ומרחב השורות של שווה למרחב העמודות שלה אז סימטרית. ה. אם סקלרית. מטריצה ריבועית והמטריצות ו- שתיהן סקלריות ושונות זו מזו אז גם פתרון: א. טענה נכונה. הוכחה: ידוע כי אוסף הפתרונות של מערכת משוואות הומוגנית הוא מרחב וקטורי ובפרט סגור לחיבור. לכן אם הנתון: ו- x ( 4 4 ) הם שני פתרונות למערכת אז x x הוא פתרון וגם ( 4 4) הוא בהכרח גם פתרון למערכת. לפי z x ( ) הוא פתרון. אבל נתון ש- z הוא פתרון ולכן בהכרח גם לא פתרון ולכן המערכת לא יכולה לביות מערכת הומוגנית. שימו לב כי אוסף הפתרונות של מערכת לא הומוגנית לא מהווה מרחב וקטורי ולכן סכום פתרונות הוא לא בהכרח פתרון ולכן במערכת לא הומוגנית המצב המתואר בטענה הוא אפשרי. ב. טענה לא נכונה. לכל הסבר: m מתקיים ש- סמטרית כי: ( ) ( ) אוסף כל המטריצות ולכן להיות תת מרחב וקטורי. כך ש- לא סימטרית היא קבוצה ריקה וקבוצה ריקה לא יכולה 4 אלגברה מ/ פתרונות אמצע סמסטר חורף תשס"ג

5 הרבגלא 4 /מ ג"סשת ףרוח רטסמס עצמא תונורתפ קלמ הזילע 5 הנוכנ הנעט.ג 'ב ףיעסב וניארש יפכ :החכוה ןותנה יפל.תירטמיס תירטמיס יטנא יכ ןאכמו תואצמנ הנותנה הצובקב ןכל (תירטמיס יטנא םגו תירטמיס םג איה -ה תצירטמ קר יכ) תוישממה תוצירטמה לכ :תומייקמה j j j j j j ות נ. -ה תצירטמ תא קר הליכמ הנותנה הצובקה רמולכ -ה רוטקו תא קר הליכמה הצובק יכ עודי ירוטקו בחרמ איה.הנוכנ הנעטה ןכלו םא יכ הנוכנ התיה אל וז הנעט זאש ירה תוישממ תוצירטמהש ןותנ היה אל םא יכ בל ומיש :הרעה הצירטמב םירביאה לכש קיסהל ןתינ אל -ל הווש םיעוביר םוכסש ןותנהמ תבכורמ הצירטמה. -ל םיווש הנוכנ אל הנעט.ד -ל הווש הלש הדומעה בחרמל הווש הלש הרושה בחרמש תמייקמ הכיפה הצירטמ לכ :תידגנ אמגוד.תידגנ אמגוד וזש ירה תירטמיס חרכהב אל איה הכיפה הצירטמו רחאמ. :הצירטמה איה תפסונ אמגוד הווש הלש הרושה בחרמ ךא תירטמיס אל :יכ הלש הדומעה בחרמל

6 ה. טענה נכונה. הוכחה: נתון כי ו- מטריצות סקלריות ושונות זו מזו ולכן: αi βi α β α וכן α כי אם אז ולכן גם כלומר בניגוד לנתון. לכן: βi αi α α βi / : α β I γi α כלומר סקלרית. 4 אלגברה מ/ פתרונות אמצע סמסטר חורף תשס"ג

7 7 שאלה מס. : (5%) א. ב. שכל איבריו הם מטריצות הפיכות.. חשבו את (%) מצאו בסיס ל- (5%) תהיה. פתרון א. ידוע כי מימד מרחב המטריצות הוא 4 ולכן מספיקות לנו 4 מטריצות בלתי תלויות ליניארית והפיכות. כמובן שאפשר לנסות אפשרויות שונות עד שמגיעים להרכב המנצח אבל הינה רעיון נחמד: ידוע כי מרחב המטריצות הוא הסכום הישר של תת המרחב של המטריצות הסימטריות ותת המרחב של המטריצות האנטי סימטריות. לכן אם ניקח בסיס המורכב ממטריצות הפיכות לתת המרחב של המטריצות הסימטריות ובסיס המורכב ממטריצות הפיכות לתת המרחב של המטריצות האנטי סימטריות הרי שאיחוד הבסיסים יהיה בסיס למרחב כולו (כי החיתוך בין המרחבים הוא לכן איחוד הבסיסים הוא קבוצה פורשת ובלתי תלויה כלומר בסיס). {} מטריצה אנטי סימטרית כללית נראית כך: למשל: לכן לכל הפיכה ונבחר. מטריצה סימטרית כללית נראית כך: כדי ש- תהייה הפיכה נדרוש שהשורות שלה לא יהיו פרופורציונליות. נבחר מטריצות כאלה ונבדוק שהן גם בלתי לתלויות ליניארית כדי ; ; 4 שיהוו בסיס למרחב המטריצות הסימטריות. לכן... 4 המטריצות בו הן הפיכות. הן 4 מטריצות בלתי תלויות ליניאריות והפיכות לכן מהוות בסיס ל- לכן בסיס המקיים את הדרישות הוא למשל: וכל 4 אלגברה מ/ פתרונות אמצע סמסטר חורף תשס"ג

8 הרבגלא 4 /מ ג"סשת ףרוח רטסמס עצמא תונורתפ קלמ הזילע רדסמ ויה תוצירטמה םא תדבוע התיה אל וז הטיש יכ בל ומיש :הרעה יא רדס לכ וא) יגוז הכיפה אל זא יגוז-יא רדסמ תירטמיס יטנא םא יכ (רחא תועצמאב תאז חיכוהל וסנ).(םיטננימרטד תא קרפל רשפא ןורקע ותוא לע :אבה רשיה םוכסל x x ישארה ןוסכלאב שי ןהב תוצירטמה בחרמו תוינוסכלאה תוצירטמה בחרמ רמולכ רוחבל בושו.ל"נה םיבחרמהמ דחא לכל תוכיפה תוצירטמ לש סיסב :לשמל x :אוה שקובמה סיסבה זאו.ב תוצירטמל האבה החסונב רזענ :תוכיפה יהת זא - ם"םא הכיפה :זאו. םא ןכל :לבקנ החסונה יפל ) (4 ) ( ) )( ( ) )( (

9 9. שאלה מס. יהיה יהיה ל- א. ב. ג. ד. ה. ו. ז. ח. ט. (7%) : 4 תת המרחב של W תת המרחב של של כל המטריצות שמתחלפות בכפל עם. רשמו את הצורה הכללית של מטריצה ב- מהו? m רשמו את הצורה הכללית של מטריצה ב- מהו של כל המטריצות שסכום כל שורה שלהן שווה..W? mw רשמו את הצורה הכללית של מטריצה ב- מהו מהו. W? m W? m( W) רשמו את הצורה הכללית של מטריצה ב- האם הסכום W הוא סכום ישר של. W ו? W פתרון: א. נמצא איבר כללי ב- : 4 אלגברה מ/ פתרונות אמצע סמסטר חורף תשס"ג

10 הרבגלא 4 /מ ג"סשת ףרוח רטסמס עצמא תונורתפ קלמ הזילע -ב יללכ רביא ןכל :אוה דמימ.ב -ב תיללכ הצירטמב וא םיישפוח םירטמרפ 5 שי יללכה רביאב יכ 5 אוה 9 שי םימלענ (... ) 'א ףיעס יפלו :אוה לש דמימה ןכל -ל ךייתשהל םיאנת 4 שי.9-4 5

11 הרבגלא 4 /מ ג"סשת ףרוח רטסמס עצמא תונורתפ קלמ הזילע : W -ב יללכ רביא אצמנ.ג לש הרוש לכב םירביאה םוכס ןותנה יפל :הרוצהמ אוה יללכ רביא ןכלו אוה s r s r v u v u x x t s r w v u z x t s r w v u z x W W דמימ.ד -ב תיללכ הצירטמב וא םיישפוח םירטמרפ שי יללכה רביאב יכ אוה 9 שי םימלענ (x... t) 'ג ףיעס יפלו :אוה W לש דמימה ןכל W -ל ךייתשהל םיאנת שי.9 - -ב יללכ רביא.ה :הרוצהמ אוה. -ב יללכ רביא לבקנו W יאנת תא וילע ץלאנ : W W W דמימ.ו -ב תיללכ הצירטמב וא םיישפוח םירטמרפ שי יללכה רביאב יכ אוה 5 שי םימלענ ( ) 'ג ףיעס יפלו W לש דמימה ןכל W -ל ךייתשהל םיאנת שי :אוה.5 - :םייקתמ םידמימה טפשמ יפל.ז ( ) 9 ) m( 9 5 ) m( m m m W W W W םייקתמ 'ז ףיעס יפל.ח m 9 ) m( W ןכל W יללכ רביא יכ ןאכמו W -ב -ב יללכ רביאל הווש :רמולכ

12 ט. הסכום W הוא לא סכום ישר כי לפי סעיף ו'.m( W) 4 אלגברה מ/ פתרונות אמצע סמסטר חורף תשס"ג

13 . שאלה מס. 5 (%) : תהיה מטריצה מסדר x א. ב. הוכיחו שאם אז. rk הוכיחו שאם rk ( ) < rk אז למערכת יש פתרון לא טריביאלי.. x rk ( ) < rk ג. הוכיחו שאם אז למערכת יש פתרון המקיים r ( ) rk( ) פתרון: בסעיפים א' ג' הבאים נסמן א. לפי משפט אם ו- B הן שתי מטריצות ריבועיות כך ש- B אז.r() r(b) < במקרה שלנו B ולכן: r() r() < r() < r() < למען הסדר הטוב נוכיח את המשפט עליו הסתמכנו: נסמן ב- B j את העמודה ה- j -ית של B אז:.B (B B... B ) (B B... B ) (... ) כלומר לכל j... מתקיים j B לכן כל עמודה של B שייכת למרחב הפתרונות של המערכת ההומוגנית x לכן מספר העמודות הבלתי תלויות ליניארית של B שזה הדרגה של B לא יכול להיות יותר ממימד המרחב אליהן שייכות העמודות כלומר הדרגה של B לא יכולה להיות יותר ממימד מרחב הפתרונות של המערכת.x אבל מימד מרחב הפתרונות של x שווה ל- r() - לכן: r() r(b) < - ע"י העברת אגפים נקבל:.r() r(b) < גם ב. לפי הנתון המטריצה מוגדרת לכן מטריצה ריבועית. אם r() אז הפיכה ולכן הפיכה (כי מכפלה של מטריצות הפיכות היא מטריצה הפיכה) כלומר r( ) וקיבלנו ) r() r( בניגוד לנתון. לכן היא מטריצה לא הפיכה ומכאן כי למערכת x יש אינסוף פתרונות ובפרט פתרון לא טריוויאלי. ג. לפי סעיף ב' לא הפיכה ולכן למערכת x יש אינסוף פתרונות. ברור כי כל פתרון של המערכת x הוא גם פתרון של המערכת x כי אם הוא פתרון של המערכת 4 אלגברה מ/ פתרונות אמצע סמסטר חורף תשס"ג

14 4 x אז מתקיים. נכפול את שני האגפים ב- ונקבל: כלומר הוא גם פתרון של x. לכן מרחב הפתרונות של המערכת x מוכל במרחב הפתרונות של המערכת x. בטענה זו מבקשים להראות שאם rk ( ) < rk אז למערכת x קיים פתרון שאינו פותר את המערכת x או במילים אחרות שאם rk ( ) < rk אז לא קיימת הכלה בכיוון השני. לפי משפט מימד מרחב הפתרונות של המערכת x הוא r(). - לפי אותו משפט מימד מרחב הפתרונות של המערכת x הוא ). - r( אבל נתון כי ) - r() < - r( לכן קיים במרחב הפתרונות של x וקטור rk ( ) < rk לכן שאינו במרחב הפתרונות של x כלומר קיים כך ש- אבל. הערה: שימו לב שלא היה צורך ממשי בכל ההקדמה אלא מספיק להראות שמימד מרחב הפתרונות של x קטן ממימד מרחב הפתרונות של x שכן אם מימד מרחב הפתרונות של x קטן ממימד מרחב הפתרונות של x אז ברור כי קיים פתרון של המערכת x שאינו פתרון של x (כי בבסיס של האחד יש יותר וקטורים בלתי תלויים מאשר בבסיס של השני). 4 אלגברה מ/ פתרונות אמצע סמסטר חורף תשס"ג